PROJET SCA N°3

STABILISATION D'UN SATELLITE

Gradient de gravité et dérivée du champ magnétique

Mise à jour 10/2001, revu 2011

Ce projet est plus particulièrement destiné aux étudiants ayant de solides connaissances en mécanique classique et la volonté d'assimiler le concept nouveau de quaternions d'attitude et d'aborder un domaine nouveau, celui du contrôle d'attitude.

Même si le site ou le cours sont plus particulièrement orientés vers la trajectographie, un projet de SCA ( Système de Contrôle d'Attitude ) peut apporter un plus à tous ceux qui travailleront dans le domaine spatial. En effet dans la mise au point d'une mission les problèmes de SCAO (Système de Contrôle d'Attitude et d'Orbite) sont essentiels, car intimement reliés à la trajectographie et à la mission.

Cette étude, l'une des plus simples en SCA, concerne le comportement d'un satellite sous l'effet du gradient de gravité.

Les domaines d'exploration proposés dans ce projet concernent :

 Le repérage d'un satellite par rapport au repère local, avec les angles de Cardan ( roulis lacet et tangage)

 Les quaternions d'attitude, outil mathématique de représentation d'une rotation ou de l'attitude d'un solide.

 Le gradient de gravité, considéré comme une perturbation ou au contraire utilisé pour stabiliser une attitude

 Les oscillations libres d'un satellite, avec la découverte de mouvements à grandes périodes

 Le champ magnétique terrestre

 Les magnéto-coupleurs, utilisant le champ magnétique terrestre

 Une commande originale à partir de la dérivée du champ magnétique terrestre, en axes satellite

 La stabilisation d'un satellite par gradient de gravité et magnéto-coupleurs

 La mise en œuvre de méthodes simples de l'automatique

La plupart des rubriques abordées sont développées sur le site, et naturellement encore d'avantage sur Internet où vous rechercherez de nombreux exemples, données techniques et illustrations.

Vous ne manquerez pas de fournir les adresses des bons sites, pour les générations futures d'étudiants.

I GENERALITES :

1°) LE SATELLITE :

SATELLITE 1 ( CAS D'ECOLE ) :Micro satellite de messagerie par exemple, acceptant une précision de pointage terre de 5°.

Il sera modélisé sous la forme d'un solide de révolution S1 et d'un système de 2 mâts transverses. En pratique, vous vous renseignerez, il n'y a qu'un seul mât. Ce satellite théorique es choisi pour bien mettre en évidence le gradient de gravité et le rôle capital des inerties

S1 a pour inerties: I_R (Roulis) = I_T (Tangage) = 6 m²kg I_L (Lacet) = 8 m²kg et une masse M = 100 kg.

Le mât 1 est constitué de 2 boules ponctuelles de 3 kg chacune à 3 m du centre O

Le mât 2 est constitué de 2 boules ponctuelles de 2 kg chacune à 2 m du centre O

SATELLITE 2 : Vous adopterez les inerties suivantes:

I_R (Roulis) = 400 m²-kg I_T (Tangage) = 500 m²kg I_L (Lacet) = 300 m²kg

SATELLITE 3 : De révolution autour du tangage, qui devrait vous poser des problèmes.

I_R (Roulis) = 600 m²-kg I_T (Tangage) = 800 m²kg I_L (Lacet) = 600 m²-kg

2°) L'ORBITE :

Le satellite est sur orbite circulaire basse polaire d'altitude sol 470 km.

Sur une orbite polaire circulaire le champ magnétique terrestre qui sera utilisé pour la stabilisation, est assez simple à modéliser.

Dans un premier temps, pour bien appréhender l'effet du seul gradient de gravité, on ne prend en compte que la gravité centrale newtonienne, sans perturbations d'orbite et pour les forces extérieures créant des couples sur le satellite, uniquement le couple dû au gradient de gravité.

Vous ne manquerez pas de commenter ce cas par rapport à un vol réel.

II PREPARATION:

Vous commencez par assimiler la notion de quaternion d'attitude.

1°) Repères - Notations - Angles :

La mission du satellite requiert une position quasi invariable par rapport au sol survolé.

O Xa Ya Za est un repère galiléen, qu'il n'est pas utile de préciser outre mesure.

Le satellite S est en orbite, supposée circulaire, de rayon r_o. On appelle REPERE ORBITAL Ro le repère d'origine S et d'axes X Y Z, avec :

• X axe dit de roulis, unitaire de la vitesse orbitale, tangent à l'orbite.
• Y axe de tangage, unitaire du moment cinétique, normal à la trajectoire.
• Z axe de lacet, suivant la géocentrique, pointant le zénith.

On désigne par S x y z le repère R, principal d'inertie pour le satellite, avec I_R, I_T, I_L les moments principaux d'inertie.

Pour un satellite stabilisé, devant garder ses axes quasiment fixes par rapport à ce repère orbital Ro, nous sommes amenés à définir des angles particuliers, qui pour le cas d'espèce resteront petits, voisins de 0, nous adoptons les angles de Cardan.

Les repères sont définis comme suit, après avoir indiqué que l'axe a est la projection sur le plan horizontal X, Y de l'axe x ( avec une singularité évidente pour q = 90°). La succession de repères est :

XYZ --- Y --> abZ -- q ---> xbg --- F --> xyz

Nous avons ainsi défini ces angles conventionnels, plus adaptés que les angles d'Euler, au cas des petits angles, car ils sont toujours bien définis:

• Roulis f mesuré autour de x ( voisin de X lorsque les angles sont petits)
• Tangage q mesuré autour de b ( voisin de Y lorsque les angles sont petits)
• Lacet y mesuré autour de Z

La matrice P de passage de XYZ à xyz s'explicite classiquement :

à comparer à son expression déduite du quaternion (voir plus loin ) qui représente la rotation géométrique faisant passer du repère orbital au repère satellite ( et non pas du repère absolu au repère satellite ):

ce qui permet d'exploiter les résultats pour évaluer les conditions initiales ou les angles de position en fonction du quaternion.

2°) GRADIENT DE GRAVITE :

Vous étudierez le gradient de gravité et en exposerez le rôle dans votre rapport final.

Vous établirez les relations suivantes donnant le couple G du gradient de gravité en axes satellites, avec les composantes exactes:

et les exprimerez en termes exacts de quaternions, pour montrer et obtenir:

 3°) CHAMP MAGNETIQUE TERRESTRE :

Le champ magnétique terrestre apparaît comme résultant d'un dipôle magnétique faisant un angle de 11° avec l'axe de rotation de la Terre et légèrement décentré. Le pôle sud du dipôle est dans l'hémisphère nord à 78°6 de latitude et 289°55 de longitude ouest, de plus ce dipôle dérive de 0.014°/an vers l'est et sa force augmente de 0.05% par an. C'est dire la complexité de sa représentation.

Pour une première étude de stabilisation par magnéto-coupleurs et une bonne compréhension du phénomène, nous nous contenterons d'un modèle simple

Hypothèses :

On assimile le champ magnétique terrestre à celui d'un dipôle magnétique placé suivant l'axe Nord-Sud de la Terre et présentant ainsi une symétrie de révolution autour de l'axe de rotation de la Terre.

où mo = 4 p 10^-7 et K= 6.413 10²¹ A-m²

N est la direction locale du Nord (pour nous magnétique et géographique à la fois avec la simplification adoptée).

L'orbite est supposée circulaire basse, polaire.

Le temps de référence t - t_N est pris nul à l'un des passages du satellite au nœud N ascendant ( passage de l'hémisphère sud à l'hémisphère nord ). On appelle j l'angle polaire du satellite compté à partir du nœud ascendant positivement autour de l'axe de tangage (axe également porteur du moment cinétique du satellite).

Le calcul des composantes de B sur X, Y, Z repère orbital local donne donc( vous le vérifierez ), sur toute l'orbite:

4°) CONTROLE D'ATTITUDE PAR MAGNETO-COUPLEURS ET COMMANDE PAR LA DERIVEE DU CHAMP MAGNETIQUE

Voir le cours sur les magnéto-coupleurs

Le vecteur champ magnétique terrestre est connu par ses composantes dans le repère orbital local XYZ, associé à la position courante du satellite, au rayon vecteur r et au temps t.

a) LA COMMANDE :

Elle est actuellement couramment utilisée, et s'appelle COMMANDE PAR LA DERIVEE DU CHAMP MAGNETIQUE TERRESTRE.

Le satellite est pourvu de magnétomètres ( vous vous renseignerez sur ce type d'équipement ) fixes sur le satellite. On a donc la connaissance, à bord du satellite, du vecteur champ magnétique local, par ses composantes en axes satellite Bx, By, Bz.

Un boîtier gyrométrique ( vous vous renseignerez sur cet équipement ) mesure à chaque instant la rotation inertielle du satellite. En déduisant la rotation inertielle du repère orbital, on en déduit la rotation relative W du satellite par rapport au repère orbital.

Une électronique de bord traitant les informations des capteurs utilisés ( gyromètres et magnétomètres ) peut élaborer un moment magnétique variable, du type suivant :

en modulant les intensités des courants dans trois bobines.

b) LE COUPLE DE COMMANDE :

Le couple généré, de manière passive ( sans consommation de carburant mais uniquement d'énergie électrique, donc solaire en général) est classiquement:

Nous montrons ci-après pourquoi ce couple joue un rôle amortisseur de la rotation relative W du satellite, précisément celle qu'il faut annuler pour stabiliser le satellite.

5°) ETUDE PHYSIQUE DE LA COMMANDE :

a) MISE EN EVIDENCE DU RÔLE AMORTISSEUR :

Que représente physiquement la dérivée du champ B vu du satellite? Mécaniquement c'est la vitesse de l'extrémité du vecteur B vu par un observateur lié au corps du satellite.

Or la variation d'un vecteur a deux origines, sa variation de longueur et son changement d'orientation.

Le changement de longueur provient nécessairement du mouvement orbital.

Le changement d'orientation a pour origine la rotation absolue du satellite et donc la composée du mouvement relatif au repère orbital et le mouvement orbital lui même ( dans la rotation absolue du satellite il intervient la rotation du repère GXYZ (dit orbital) valant w_o autour de l'axe de tangage Y.)

Toutes ces remarques pour constater que "si on oublie le mouvement orbital", la seule variation de B provient de la rotation W du satellite par rapport au repère GXYZ, précisément la rotation qu'il faut contrôler et annuler. Ainsi vu du satellite le vecteur champ magnétique B tourne à la vitesse -W.

Faisons une figure qui montre la géométrie du contrôle.

Le couple généré sur le satellite s'oppose à la composante transversale W_T de la rotation.

L'effet amortisseur de cette composante devient alors plus évident.

Le lecteur curieux pourra également, par une méthode analogue montrer que la rotation orbitale de GXYZ (toutes choses restant égales par ailleurs), crée pour un satellite en orbite polaire un couple :

qui a pour conséquence de mettre en retard le satellite par rapport à la géocentrique ( retard sur le tangage ) ce couple apparaît ainsi perturbateur. Vous retrouverez ce phénomène dans vos simulations

b) Etude mathématique permettant de mettre en évidence le rôle amortisseur de la commande:

Cette étude demande du soin car les divers repères jouent des rôles subtils. Voir ...\scao\attitude\scao_0.htm.

Rappelons la formule de dérivation d'un vecteurs dans deux repères.

ce calcul explicité avec la formule du double produit vectoriel donne:

Ce mode de calcul du couple fait apparaître deux couples de natures très différentes:

 Le premier C1 qui dépend linéairement du vecteur W à contrôler par l'intermédiaire de la matrice A(t), qui elle ne dépend que du temps ( puisque sur l'orbite circulaire le champ ne dépend que de l'angle de rotation j(t)=w_ot ).

 Le deuxième C₂ ne dépendant à priori que du temps, on montrera en fait plus loin qu'il est constant et suivant l'axe de tangage.

L'idéal serait que la matrice A(t) possède des valeurs propres en général négatives sauf peut être en certains points de l'orbite où elles pourraient s'annuler exceptionnellement. Voyons cela de plus près.

Le lecteur exécutera les calculs qui montrent que dans la base du satellite et de manière très générale, même si l'orbite n'est pas polaire, on a : C₁ = k*A(t) W

Cette matrice symétrique possède des valeurs propres réelles.

NB : Montrons grâce à une analogie mécanique utilisant la matrice d'inertie, que ces valeurs propres ne sont jamais positives.:

Considérons dans le repère satellite G x y z le point M de masse k, de cordonnées Bx, By, Bz autant dire que GM = B. Alors A(t) n'est autre que l'opposé de la matrice d'inertie de M par rapport au repère G x y z. Cette remarque apporte toutes les conclusions souhaitées à savoir:

Puisqu'une matrice d'inertie a des valeurs propres non négatives, A(t) a des valeurs propres non positives.

De toute évidence, mécaniquement, la direction de B est un axe principal et le plan normal à B est principal d'inertie. On en déduit que A(t) a une valeur propre nulle, ce qui est évident pour la direction de B, puisque aucun couple parallèle à B ne peut être créé. Naturellement les deux autres valeurs propres sont égales, et comme la trace de la matrice vaut - 2 B², on en déduit que les valeurs propres négatives sont égales à - B², résultat prévisible.

Autre point de vue plus mathématique et à la limite plus rapide :

Au vu des considérations précédentes nous pouvons calculer directement les valeurs propres de la matrice A(t)

le polynôme caractéristique que le lecteur calculera s'écrit:

ce qui confirme totalement le résultat précédent, d'une valeur propre nulle ( non contrôle autour de l'axe du champ ) et d'une racine double montrant un contrôle parfaitement symétrique de la composante de la rotation normale au champ.

Le gain de ce contrôle est - kB², démontrant de manière évidente que le couple est amortisseur de deux composantes de la rotation, mais comme le champ est variable il en résulte qu'à tour de rôle les composantes sont périodiquement amorties.

c ) Etude du couple C2

Calculons ce couple pour une orbite polaire. Le lecteur vérifiera que dans les axes de Ro ( G X Y Z ):

donnant par le produit vectoriel:

Le couple C2 est donc constant sur l'axe de tangage du satellite, pour une orbite polaire et pour les hypothèses faites ( champ dipolaire d'axe nord-sud). Vous évaluerez sa valeur et la comparerez à celle du couple maximum du gradient de gravité.

Conséquences : il apparaît comme un couple perturbateur jouant sensiblement le même rôle que le couple aérodynamique sur l'axe de tangage. Son effet sera donc un dépointage statique par rapport à la géocentrique. Il faudra donc en tenir compte pour la prise de vue.

Ordre de grandeur :

Un calcul sur une orbite de rayon 6800 km donne un couple

pour k =10⁷, la valeur est de l'ordre de grandeur du couple aérodynamique.

Remarque finale : il ne faudra pas oublier de simuler le problème de la saturation éventuelle des magnéto-coupleurs et également de prendre en compte la valeur réelle du champ B lors du calcul du couple C .

Commentaires sur la commande :

Après cette première étude théorique il apparaît que la variabilité de l'orientation du champ magnétique permet de contrôler tous les axes.

Aux passages équateur le champ est parallèle au roulis et le contrôle se fait sur les axes tangage et lacet.

Aux passages pôles le champ est radial entraînant l'impossibilité du contrôle lacet mais un contrôle actif sur le tangage et le roulis.

Il faudra donc s'attendre à une bonne efficacité sur le tangage partout contrôlé, et une moindre efficacité sur le lacet et le roulis, de plus, comme le gradient de gravité n'est pas efficace sur le lacet, il ne faudra pas s'étonner d'un contrôle "mou" sur le lacet.

Peut être faudrait-il "durcir' le contrôle lacet ? Mais comment, ce pourrait être un sujet de réflexion et d'étude.

NB: On rappelle cependant qu'en général les contraintes de vitesse angulaire sur le lacet sont moins strictes que sur les autres axes. 

d ) Etude énergétique

Oublions le mouvement orbital du satellite et ne prenons en compte que la vitesse de B créée par le mouvement autour du centre d'inertie.

Dans ces conditions on a un moment magnétique

Un couple C et la puissance P du couple qui valent:

La puissance est négative traduisant fort heureusement une perte d'énergie et la formule montre que cette perte est d'autant plus grande que la rotation transversale au champ magnétique est grande.

Il apparaît donc évidemment que la composante de la rotation portée par le champ ne peut être réduite, c'est en cela que la variabilité du champ le long de l'orbite est intéressante.

6°) COUPLES PERTURBATEURS :

La présence de couples perturbateurs pourrait être envisagée, on noterait avec un indice p, les composantes sur les axes satellites :

7°) EQUATIONS D'EVOLUTION :

a) EQUATION D'EVOLUTION DU QUATERNION :

Il faut comprendre:2 concepts :

 Que la position du satellite, par rapport au REPERE ORBITAL, résulte de la rotation géométrique, donc du QUATERNION D'ATTITUDE Q de composantes (q_O, q₁, q₂, q₃) Le quaternion est capable de représenter toute attitude sans jamais présenter de singularités.

 Que le mouvement instantané GALILEEN autour du centre d'inertie, est une rotation axiale de vitesse angulaire donnée par LA ROTATION INSTANTANEE W de composantes ( p, q, r) en AXES ABSOLUS.

La rotation relative au REPERE ORBITAL, celle qu'il faut annuler en théorie, est alors :

Cette rotation est connue à bord du satellite grâce aux mesures gyrométriques. Il est donc envisageable de générer des couples s'opposant à telle ou telle vitesse à contrôler.

L'évolution du quaternion et la rotation sont liés par les équations :

avec une matrice Ms:

0

b) EQUATIONS DU MOUVEMENT :

Le théorème du moment cinétique appliqué au satellite en son centre d'inertie, en projection sur les axes satellite, sous l'effet de G COUPLE DU GRADIENT DE GRAVITE et C COUPLE DE COMMANDE et Gp COUPLE PERTURBATEUR, donne les équations du mouvement.

4°) INITIALISATION DES CALCULS :

a) MISE SOUS FORME CANONIQUE :

Vous poserez un vecteur colonne X à 7 composantes, représentant la rotation W et le quaternion Q Vous mettrez l'ensemble des équations sous la forme canonique d'un système d'ordre 1.
avec des conditions initiales à calculer

b) INITIALISATION DU QUATERNION :

Il paraît évident que l'initialisation doit être faite à l'aide des angles de repérage initiaux et donc de la matrice P de passage qui s'exprime en fonction de ces angles. Nous supposons donc connue la matrice P par ses coefficients Pij.

Le lecteur vérifiera, en observant attentivement l'écriture de P et notamment la forme des coefficients hors diagonale, que l'on peut calculer le quaternion d'attitude avec la matrice P, par les relations suivantes:

Une série de tests est nécessaire sur les éléments diagonaux pour calculer le quaternion à une indétermination près de signe. Dans tous les cas on supposera cependant que qo est dans l'intervalle 0, 1.

En pratique dès que le signe d'une composante de Q est choisi, il détermine automatiquement le signe des autres, mais la matrice P de passage n'en est pas affectée. Il n'y a donc pas lieu de s'inquiéter, et si qo est différent de 0 nous prendrons toujours cette composante > 0 sinon ce sera q1 etc....

Exemple de programme de calcul d'initialisation du quaternion Q = [q0 q1 q2 q3 ]

Un problème se pose, celui du calcul de la racine carrée de nombres calculés numériquement et pouvant donner à cause des arrondis, des valeurs voisines de 0, donc au signe douteux. Des tests doivent être prévus pour pallier cette difficulté.

Voici un exemple de programme sous le logiciel Matlab, programme qui peut facilement s'adapter à d'autres langages et que vous pouvez recopier.

NB : Le dernier indice 0 des variables à 2 indices indique la valeur initiale, par exemple qt30 est la valeur initiale de la troisième composante q3 du quaternion d'attitude.

NB : Pmat est la matrice de passage de la base absolue à la relative.

NB : le symbole ^ est celui de la puissance.

Nous prendrons toujours q₀ >0 ou nul

trac=trace(Pmat);

if (1+trac)>0,

qt00=(1+trac)^0.5/2;

else

qt00=0;

0end

if (1-trac+2*Pmat(1,1))>0,

qt10=(1-trac+2*Pmat(1,1))^0.5/2;

else

qt10=0;

end

if (1-trac+2*Pmat(2,2))>0,

qt20=(1-trac+2*Pmat(2,2))^0.5/2;

else

qt20=0;

end

if (1-trac+2*Pmat(3,3))>0,

qt30=(1-trac+2*Pmat(3,3))^0.5/2;

else

qt30=0;

end

if abs(qt00)>1e-8,

qt10=qt10*sign((Pmat(3,2)-Pmat(2,3))/4/qt00);

qt20=qt20*sign((Pmat(1,3)-Pmat(3,1))/4/qt00);

qt30=qt30*sign((Pmat(2,1)-Pmat(1,2))/4/qt00);

else if abs(qt10)>1e-8,

qt20=qt20*sign((Pmat(1,2)+Pmat(2,1))/4/qt10);

qt30=qt30*sign((Pmat(1,3)+Pmat(3,1))/4/qt10);

qt00=qt00*sign((Pmat(3,2)-Pmat(2,3))/4/qt10);

else if abs(qt20)>1e-8,

qt10=qt10*sign((Pmat(1,2)+Pmat(2,1))/4/qt20);

qt30=qt30*sign((Pmat(2,3)+Pmat(3,2))/4/qt20);

qt00=qt00*sign((Pmat(1,3)-Pmat(3,1))/4/qt20);

else if abs(qt30)>1e-8,

qt20=qt20*sign((Pmat(3,2)+Pmat(2,3))/4/qt30);

qt10=qt10*sign((Pmat(1,3)+Pmat(3,1))/4/qt30);

qt00=qt00*sign((Pmat(2,1)-Pmat(1,2))/4/qt30);

end

Q=[qt00 qt10 qt20 qt30];

Q est le quaternion initial

III VOTRE TRAVAIL:

Vous comparerez à loisir, les 3 satellites proposés, mais rien ne vous empêche de choisir un cas particulier ou un satellite existant et d'adapter certaines constantes du problème.

1°) MOUVEMENT LIBRE SOUS GRADIENT DE GRAVITE SEUL:

a) TRAITEMENT MATHEMATIQUE EXACT :

Vous présentez dans le cas des petits dépointages les équations du mouvement libre du satellite, c'est à dire sous la seule action du gradient de gravité, sans contrôle.

Vous traitez le problème dans sa généralité mathématique et mécanique, littéralement, sur le système linéarisé.

Pour ce système différentiel linéaire du deuxième ordre, vous préciserez la position d'équilibre stable du satellite en orbite. Renseignez vous sur la position d'équilibre de la navette US en orbite ? Intéressez vous à notre Lune?

b) Vous calculez littéralement les périodes propres des vibrations par les méthodes classiques des petits mouvements. Quels sont les angles couplés?

Application numérique: satellites 1 à 3

c) INTEGRATION NUMERIQUE 1 :

Naturellement, on peut traiter des conditions initiales quelconques, mais pour fixer les idées, vous traitez le cas concret du mouvement libre, avec les conditions initiales suivantes : vitesses angulaires nulles et angles de roulis lacet et tangage égaux à 6°.

Vous devriez confirmer les résultats de b) en ce qui concerne les périodes et le couplage et valider ainsi votre algorithme d'intégration

d) INTEGRATION NUMERIQUE 2 :

C'est votre premier contact avec les quaternions. Voir les cours.

Vous traitez le même problème qu'en c) en introduisant le quaternion d'attitude, mais avec les équations exactes, sans faire l'hypothèse petits mouvements mais avec les mêmes conditions initiales.

Vous devriez retrouver avec une excellente approximation les résultats c)

Vous fournirez les courbes d'évolution des 3 angles en fonction du temps. Peut être pourriez vous comparer avec le cas linéarisé.

Vous êtes alors au point ( technique des quaternions et méthode d'intégration ), pour mettre en œuvre les quaternions dans des études plus complexes et plus réalistes ( mouvements aux grands angles, stabilisation et contrôle d'attitude).

2°) MOUVEMENT SOUS GRADIENT DE GRAVITE ET COMMANDE D'AMORTISSEMENT AVEC LA DERIVEE DU CHAMP MAGNETIQUE TERRESTRE:

a) Vous intégrez les équations exactes du mouvement; en présence du gradient de gravité et de la commande présentée plus haut, avec un gain uniforme K de l'ordre de 10⁷

Vous adapterez le gain par essais successifs.

b) En particulier, avec par exemple un mouvement initial de tangage pur, une vitesse angulaire de 0.1 rd/s en tangage et les angles de Cardan nuls, vous vérifiez que le tangage tend vers une limite et que cette limite est proportionnelle à k. Vous donnerez donc les valeurs extrêmes de k en liaison avec la mission et un temps raisonnable d'amortissement.

c) L'énergie( au sens ci-après, voir NB ) de rotation du satellite tend vers 0, confirmant ainsi l'amortissement ldu tangage.

NB : Nous appellerons ici énergie, l'écart DE entre l'énergie de rotation du mouvement général Er=0.5*(I_rp²+I_tq²+I_lr²) et l'énergie de rotation dans le mouvement stabilisé soit Es=0.5*I_tw_o². DE =Er - Es

a) ACQUISITION :

Lors de la mise en orbite un incident technique peut fort bien communiquer des vitesses angulaires importantes et des dépointages initiaux non prévus. L'acquisition d'une attitude correcte est essentielle pour initialiser la mission.

Vous montrez l'intérêt des magnéto-coupleurs dans une séquence d'acquisition juste après l'injection en orbite. La réduction des vitesses angulaires est alors capitale pour l'acquisition d'une attitude stable. Avec l'axe z suivant la géocentrique ( Attention 2 positions sont possibles, une avec le satellite en pointage inversé )

Conditions initiales avec le satellite 1 en tangage seul avec un gain k=10⁷

Initialisation en vitesses angulaires absolues (rd/s)

v_roulis0=0; v_tangage0=+0.001 ou v_tangage0=-0.001; v_lacet0=0;

Initialisation en position (rd)

roulis0=0; tangage0=p/6; lacet0=0;

Vous vérifiez l'acquisition après un certain nombre de tours et la réduction de la vitesse angulaire de tangage. totale, que l'énergie de rotation s'annule. Vous donnez la position finale et décidez si une manœuvre de retournement est nécessaire ou pas.

Conditions initiales avec le satellite 1, plus générales: gain k=10⁷

Initialisation en vitesses angulaires absolues (rd/s)

v_roulis0=0.003; v_tangage0=0.008; v_lacet0=0.0005;

Initialisation en position (rd)

roulis0=0.02; tangage0=0.5; lacet0=0.04;

Vous vérifiez que l'acquisition est réalisée sur les 3 angles avec amortissement des vitesses angulaires, et que l'énergie de rotation au sens précédent) décroît. Donnez la position finale de l'axe z.

Conditions initiales avec le satellite 2: tangage seul, grande amplitude, mais capture initiale, gain k=10⁷

Initialisation en vitesses angulaires absolues (rd/s)

v_roulis0=0;v_tangage0=0.0009; v_lacet0=0;

Initialisation en position (rd)

roulis0=0; tangage0=0.3; lacet0=0;

Conditions initiales avec le satellite 2: tangage seul, sans capture initiale, gain k=10⁷

Initialisation en vitesses angulaires absolues (rd/s)

v_roulis0=0;v_tangage0=-0.003; v_lacet0=0;

Initialisation en position (rd)

roulis0=0; tangage0=0.8; lacet0=0;

Vous vérifiez que le satellite effectue 7 à 8 tours complets avant sa capture en tangage. 

Dans le cas général, une fois l'acquisition effectuée, vous montrez sur des graphes adéquats l'effet amortisseur des magnéto-coupleurs, que ce soit en pointage normal ou retourné.

3°) RETOURNEMENT:

Vous vous renseignerez sur les méthodes permettant après capture, et un pointage inversé, de retourner le satellite.

5°) EN PRESENCE DE PERTURBATIONS:

Vous pourriez aborder le cas d'un satellite en orbite basse, donc soumis au forces de freinage atmosphérique, pouvant créer suivant la forme du satellite, un couple aérodynamique, qu'on pourra supposer sur l'axe de tangage.

Renseignez vous sur le niveau de cette perturbation, simulez sa présence et commentez la position d'équilibre.

6°) COMMENTAIRES:

En vous appuyant sur des missions réelles et sur votre étude, vous commentez les avantages et les inconvénients des magnéto-coupleurs.

Vous donnerez, pour chaque simulation, l'ordre de grandeur des couples de commande maximum et ferez le choix d'une gamme de magnéto-coupleurs (moment magnétiques en A-m²), une utilisation en saturation est possible( limitation du moment magnétique donnée par le constructeur )

Vous parlerez également des senseurs nécessaires à la mise en œuvre de la stabilisation

Vous citerez d'autres actuateurs .

Rédaction octobre 2001

Pour le professeur :

Répertoire DERIV_B pour l'étude d'une stabilisation par gradient de gravité et dérivée du champ magnétique terrestre, avec derivsim.m pour la simulation et derivdat.m pour initialiser.